เคยสงสัยกันไหมครับว่า สมการ x^2x = 6,561 มันแก้กันยังไง บางคนอาจจะใช้ wolfram alpha หาคำตอบ แต่แท้จริงแล้วสมการนี้สามารถแก้ได้ด้วยการใช้ฟังก์ชันตัวนึงเข้ามาช่วยครับ ในบทความวันนี้ผมจะพานักอ่านทุกท่านมารู้จักกับไอ้เจ้าฟังก์ชันตัวนี้ที่ว่ามาใช้แก้สมการที่ตัวนี้กัน ซึ่งมันมีชื่อเรียกว่า Lambert W Function นั่นเองครับ จะเป็นแบบไหนนั้นมาลองเริ่มอ่านไปด้วยกันเลยครับ

Lambert W Function จริงๆแล้วมีหลายชื่อเรียก เช่น Omega Function หรือจะเรียกว่า Product Logarithm และฟังก์ชันนี้มีสมบัติ ดังนี้

สมบัติของ Lambert W Function

w( xe^x ) = x 

ข้อควรรู้

1. x คือ ตัวแปร โดยเราสามารถมองมันเป็นกลุ่มก้อนของตัวแปรได้ เช่น มองเป็น 2x+5 , x² + 5 เป็นต้น 
2. W() คือ Lambert W Function 

3. W (1) หรือ Ω มีค่าประมาณ 0.5671432904097838729999686622

คำอธิบาย

จะสังเกตุว่า Lambert W Function มันก็คืออินเวอร์สของ xe^x นั่นเองครับ ทีนี้ถ้าเราจัดรูปสมการ exponential ให้อยู่ในรูปที่สามารถ take Lambert W Function เข้าไปได้ เราจะสามารถหาค่า x ออกมาได้นั่นเอง 

1. จงแก้สมการ x^2x = 6561

มาดูโจทย์ข้อแรกกันครับ ข้อนี้ก็จะเป็นโจทย์ที่ผมยกตัวอย่างมาตั้งแต่ต้นบทความนั่นเองครับ ทีนี้เรามาลองใช้เจ้า Lambert W Function แก้มันกันครับ

วิธีทำ

(1) x2x= 6561

(2) xx = √6561

(3) xlnx = ln(√6561)

(4) (lnx)elnx = ln(√6561)

(5) W( (lnx)elnx ) = W(ln(√6561))

(6) lnx = W(ln(√6561))

(7) x = eW(ln(√6561)) Ans

คำอธิบาย (หาเฉพาะคำตอบที่เป็นจำนวนจริง)

• บรรทัดที่ 2 ทำการ take แสควรูทเข้าทั้ง 2 ข้าง
• บรรทัดที่ 3 take ln เข้าทั้ง 2 ข้าง แล้วตบกำลัง x ลงข้างล่าง ด้วยคุณสมบัติ log
• บรรทัดที่ 4 เขียน x ใหม่ ให้อยู่ในรูป e^lnx
• บรรทัดที่ 5 take W() Lamber W Function เข้าทั้ง 2 ข้าง
• บรรทัดที่ 6 จากสมบัติของ Lamber W Function ทำให้ W(lnxe^lnx) เท่ากับ lnx 
• บรรทัดที่ 7 ใช้คุณสมบัติ log โยกฐาน e ไป ก็จะได้คำตอบ

พอมาถึงตรงนี้บางคนก็บอก อ้าว ไหนล่ะคำตอบ แก้มาตั้งนานติด W อยู่เลย ใจเย็นครับ กำลังจะบอกนี่แหละ จากในตอนแรกที่ผมบอกว่า W() หรือ Lambert W Function เนี่ย มีอีกชื่อว่า Product Log ใช่ไหมครับ นั่นแหละครับคำตอบ ทีนี้ผมสามารถเปลี่ยน W เป็นคำว่า ProductLog ได้เลยจริงไหมครับ แปลว่า ถ้าผมจะหาค่าของ W(ln√6561) ผมสามารถคำนวณมันได้จาก Product Log ของ ln√6561 ได้เช่นกันครับ แล้วเราจะไปคำนวณค่าของ Product Log ตัวนี้ในเว็บนี้เลยครับ คลิกตามมาได้เลย 

CLICK ME

หรืออีกวิธีหนึ่ง (แอบขายของนิดนึง 55+) ทุกท่านสามารถใช้โปรแกรม Modern Calculator ที่ทางผู้เขียนพัฒนาขึ้นมาได้ด้วย แล้วไอ้เจ้าโปรแกรมที่ว่ามาเนี่ยก็มีฟังก์ชันคำนวณ Lambert W Function ด้วย และยังมีฟีเจอร์อื่นอีกมากมายให้เลือกใช้ หากท่านไหนสนใจสามารถคลิกไปดูรายละเอียดที่ปุ่มด้านล่างได้เล้ย

Read MORE

การใช้โปรแกรมคำนวณค่า Lambert W Function

สรุปคำตอบ

สรุปคำตอบของสมการ x^2x = 6,561 ที่เป็นจำนวนจริงก็คือ x=3.504339593 นั่นเองครับ ซึ่งคำตอบที่ได้จากการคำนวณมือก็ตรงกับที่คำนวณใน wolfram alpha แบบเป๊ะๆเลยครับ ทีนี้บางคนอาจจะงง เดี๋ยวไปดูโจทย์ข้อถัดไปกันเลย

2. จงแก้สมการ x^x = 2

วิธีทำ

(1) xx = 2
(2) xlnx = ln2 
(3) elnx lnx = ln2
(4) W( elnx lnx ) = W( ln2 )
(5) lnx = W( ln2 )
(6) x = eW(ln2) Ans

คำอธิบาย

• บรรทัดที่ 2 take ln ทั้ง 2 ข้าง 
• บรรทัดที่ 3 เขียน x ใหม่ เป็น e^lnx ด้วยคุณสมบัติ log
• บรรทัดที่ 4 take W() ทั้ง 2 ข้าง
• บรรทัดที่ 5 ใช้คุณสมบัติของ Lambert W Function ฝั่งซ้ายจะเหลือ lnx
• บรรทัดที่ 6 ใช้สมบัติ log โยกฐาน e ไป ก็จะได้คำตอบ

Note : ( ให้มอง lnx เป็น x ในสมบัติด้านบน )

การใช้โปรแกรมคำนวณค่า Lambert W Function

คำอธิบาย

จะสังเกตุได้ว่าคำตอบที่เราได้จากการแก้สมการด้วยมือ จะได้ตรงเป๊ะๆกับที่ได้จาก Wolfram Alpha คำนวณเลย ซึ่งคำตอบของข้อนี้ก็คือ 1.559610469 นั่นเองครับ แต่ใน Wolfram Alpha นั้นจะมอง log เป็น log ฐาน e เหมือนกับ ln นั่นเอง ทำให้ไม่ว่าจะเป็น log หรือ ln ใน wolfram alpha ก็จะหมายถึง log ฐาน e เหมือนกันทั้งคู่ ทำให้เวลาคำนวณมาเราได้คำตอบตรงกัน

โอเคครับ ก็จบลงไปแล้วนะครับกับบทความ ทำความรู้จักกับ Lambert W Function เวอร์ชันโคตรง่าย หวังว่านักอ่านทุกท่านจะได้ความรู้ใหม่ไปใช้แก้สมการ exponential ได้มากขึ้นกว่าเดิม เพราะเจ้าตัว Lambert W Function นี่แหละ ที่เป็นพื้นฐานต่อยอดในคณิตศาสตร์ขั้นสูงต่อไป ส่วนใครที่อ่านแล้วไม่เข้าใจก็ไม่เป็นไรครับ ค่อยๆทำความเข้าใจไป สุดท้ายนี้ก็ขอขอบคุณนักอ่านทุกท่านที่แวะเข้ามาอ่านบทความของผมเช่นเคย ไว้เจอกันบทความหน้า สำหรับวันนี้สวัสดีครับ